经典伽玛函数(Gamma function)

伽玛函数与其导数
伽玛函数的对数导数 (\psi(z)) 是狄格玛函数(或称为伽玛函数的多项式),其定义为:

(\psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z))
狄格玛函数有一个重要的性质,即它的级数展开:

(\psi(z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+z} \right))
其中,(\gamma) 是欧拉-马斯克洛尼常数。这里,(\Gamma(z)) 是伽玛函数,定义为:

(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \, dt)
伽玛函数的反射公式
伽玛函数有一个重要的反射公式:

(\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)})
对反射公式取对数并求导,可以得到:

(\frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) + \frac{d}{dz} \ln \Gamma(1-z) = \frac{d}{dz} \ln \left( \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right))
这导致了:

(\psi(z) - \psi(1-z) = \pi \cot(\pi z))
特殊点 (z = \frac{1}{2})
对于 (z = \frac{1}{2}):

(\psi\left(\frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{2}\right) = \pi \cot\left(\frac{\pi}{2}\right))
由于 (\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0),所以:

(\psi\left(\frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{2}\right) = 0)
对数导数的级数展开
考虑狄格玛函数的级数展开:

(\psi(z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+z} \right))
对于 (z = \frac{1}{2}):

(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -\gamma - 2 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} \right))
对数导数的应用
将 ((-1)^{n+1} n!) 放入公式是为了正确地表示出这个对数导数性质。具体来说,我们通过对数导数的性质来展开这些级数和表达式,从而最终得到:

(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+\frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})

我们可以从这个更广泛的公式出发,得出特定情况下的求和结果。公式如下:

[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \frac{w}{2})[/math]
当 (w = \pi) 时,这个公式可以简化为我们要证明的求和公式。以下是具体的证明步骤:

  1. 从广泛公式出发
    我们从以下广泛公式出发:

[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \frac{w}{2})[/math]

  1. 特殊化公式
    将 (w = \pi) 代入上述公式:

[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{\pi}{2})^2} = \csc^2 \frac{\pi}{2})[/math]

  1. 计算右边的结果
    [math](\csc \frac{\pi}{2} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1} = 1)[/math]
    因此,

[math](\csc^2 \frac{\pi}{2} = 1^2 = 1)[/math]

  1. 简化求和表达式
    原始求和公式可以改写为:
    [math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{\pi}{2})^2})[/math]
    由于求和从 到[math] (\infty)[/math],我们可以拆分为:

    ( k = 1 ( π k + π 2 ) 2 = k = 1 π 2 ( k + 1 2 ) 2 )

  2. 处理左右对称的求和
    考虑到 [math](k)[/math] 从 [math](-\infty)[/math] 到 [math](\infty)[/math],我们可以注意到求和是对称的。因此,我们可以写成:

    k = 1 π 2 ( k + 1 2 ) 2 = 2 k = 0 1 π 2 ( k + 1 2 ) 2

  3. 求和结果
    所以,我们有:

[math](1 = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\pi^2 (k + \frac{1}{2})^2})[/math]

  1. 最终化简
    整理得到:

[math](\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})[/math]
因此,我们证明了:

[math](\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})[/math]
这个证明过程展示了如何从一个更广泛的公式出发,得到特定求和情况下的结果。