经典伽玛函数(Gamma function)
伽玛函数与其导数
伽玛函数的对数导数 (\psi(z)) 是狄格玛函数(或称为伽玛函数的多项式),其定义为:
(\psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z))
狄格玛函数有一个重要的性质,即它的级数展开:
(\psi(z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+z} \right))
其中,(\gamma) 是欧拉-马斯克洛尼常数。这里,(\Gamma(z)) 是伽玛函数,定义为:
(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \, dt)
伽玛函数的反射公式
伽玛函数有一个重要的反射公式:
(\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)})
对反射公式取对数并求导,可以得到:
(\frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) + \frac{d}{dz} \ln \Gamma(1-z) = \frac{d}{dz} \ln \left( \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right))
这导致了:
(\psi(z) - \psi(1-z) = \pi \cot(\pi z))
特殊点 (z = \frac{1}{2})
对于 (z = \frac{1}{2}):
(\psi\left(\frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{2}\right) = \pi \cot\left(\frac{\pi}{2}\right))
由于 (\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0),所以:
(\psi\left(\frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{2}\right) = 0)
对数导数的级数展开
考虑狄格玛函数的级数展开:
(\psi(z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+z} \right))
对于 (z = \frac{1}{2}):
(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -\gamma - 2 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} \right))
对数导数的应用
将 ((-1)^{n+1} n!) 放入公式是为了正确地表示出这个对数导数性质。具体来说,我们通过对数导数的性质来展开这些级数和表达式,从而最终得到:
(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+\frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})
我们可以从这个更广泛的公式出发,得出特定情况下的求和结果。公式如下:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \frac{w}{2})[/math]
当 (w = \pi) 时,这个公式可以简化为我们要证明的求和公式。以下是具体的证明步骤:
- 从广泛公式出发
我们从以下广泛公式出发:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \frac{w}{2})[/math]
- 特殊化公式
将 (w = \pi) 代入上述公式:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{\pi}{2})^2} = \csc^2 \frac{\pi}{2})[/math]
- 计算右边的结果
[math](\csc \frac{\pi}{2} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1} = 1)[/math]
因此,
[math](\csc^2 \frac{\pi}{2} = 1^2 = 1)[/math]
-
简化求和表达式
原始求和公式可以改写为:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{\pi}{2})^2})[/math]
由于求和从 到[math] (\infty)[/math],我们可以拆分为: -
处理左右对称的求和
考虑到 [math](k)[/math] 从 [math](-\infty)[/math] 到 [math](\infty)[/math],我们可以注意到求和是对称的。因此,我们可以写成: -
求和结果
所以,我们有:
[math](1 = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\pi^2 (k + \frac{1}{2})^2})[/math]
- 最终化简
整理得到:
[math](\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})[/math]
因此,我们证明了:
[math](\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac{1}{2})^2} = \frac{\pi^2}{2})[/math]
这个证明过程展示了如何从一个更广泛的公式出发,得到特定求和情况下的结果。